解：AD是△ABC的中线．        
　　　　理由如下：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
　　　　∵　BE＝CF，∠BDE＝∠CDF，
　　　　∴　Rt△BDE≌Rt△CDF．        ∴　BD＝CD．           
　　　　故AD是△ABC的中线．

　　7、（2007浙江杭州）如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论： 

　　①射线是的角平分线；

　　②是等腰三角形；

　　③∽；

　　④≌。

　　（1）判断其中正确的结论是哪几个？

　　（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。

　　（1）正确的结论是①、②、③；（2）证明略。

　　8、（2007四川乐山）如图（11），在等边中，点分别在边上，且，与交于点． 

　　（1）求证：；

　　（2）求的度数．

　　（1）证明：是等边三角形，

　　，

　　又

　　，····· 4分

　　．······ 5分

　　（2）解由（1），

　　得······· 6分

　　······ 9分

　　9、（2007重庆）已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝900，AB＝10，D为△ABC外一点，边结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。 

　　（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；

　　（2）若BD＝AB，且，求DE的长。

　　解：（1）∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝600，AD＝AB＝10

　　   ∵DH⊥AB   ∴AH＝AB＝5，     ∴DH＝

　　     ∵△ABC是等腰直角三角形    ∴∠CAB＝450

　　∴∠AEH＝450  ∴EH＝AH＝5，∴DE＝DH－EH＝

　　（2）∵DH⊥AB且，     ∴可设BH＝，则DH＝，DB＝

　　     ∵BD＝AB＝10    ∴  解得：

　　     ∴DH＝8，BH＝6，AH＝4

　　   又∵EH＝AH＝4，     ∴DE＝DH－EH＝4

　　10、（2007四川乐山）如图（13），在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．

　　（1）当时，求的长；

　　（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

　　我选做的是_____________________． 

　　解（1）在中，由，

　　得

　　， 由知

　　，．

　　（2）假设存在满足条件的点，设，则

　　由知，，解得，

　　此时，符合题意．

　　11、（2007山东青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

　　（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

　　（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的

　　关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

　　（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式． 

　　解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．

　　△ABC中，AB＝BC＝, 3cm，∠B＝60°，

　　∴BP＝(3－t ) cm．

　　△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

　　若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 

　　当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．

　　即t＝(3－t )，t＝1 (秒)．

　　当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．3－t＝t，t＝2 (秒)．

　　答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．  

　　⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝，

　　∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )．

　　∴y＝S△ABC－S△PBQ＝×32×－· t ·(3－t )＝．

　　∴y与t的关系式为： y＝．  

　　假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，

　　则S四边形APQC＝S△ABC ．∴＝××32×．

　　∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，∴方程无解．

　　∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′

　　⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝＝．

　　MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2

　　＝＝＝3t2－9t＋9．        

　　∴t2－3t＝．∵y＝，

　　∴y＝＝＝．

　　∴y与x的关系式为：y＝．  

　　12、（2007甘肃白银等）如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

　　在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．

　　在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．

　　（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）

　　（2）证明图（2）所得结论；

　　（3）证明图（4）所得结论．

　　（4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：                  ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

　　解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：

　　h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h．   

　　（2）图②中，h1+h2+h3=h．

　　证法一： ∵ h1=BPsin60o，h2=PCsin60o，h3=0，         

　　∴ h1+h2+h3=BPsin60o+PCsin60o

　　=BCsin60o=ACsin60o=h． 

　　证法二：连结AP， 则SΔAPB+SΔAPC=SΔABC．    

　　∴ ． 

　　又 h3=0，AB=AC=BC， ∴ h1+h2+h3==h．  

　　   （3）证明：图④中，h1+h2+h3=h．

　　过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．

　　        在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．

　　∴ h1+h2+h3=h．

　　说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．

　　   （4）h1+h3+h4= ．  

　　让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广